Optimisation de portefeuille

L'enjeu de l'allocation du capital dans les titres d'un portefeuille

La performance d'un portefeuille dépend bien entendu des performances individuelles des titres qui le composent. À cela s'ajoutent les proportions investies dans chacun de ces titres qui en constituent un facteur déterminant. Méfions-nous des apparences, la relation rentabilité / risque d'un portefeuille est beaucoup plus subtile qu'elle n'y paraît. Prenons un exemple avec deux titres A et B :

^*Taux sans risque : 3 %.

Dans les données de ce tableau, on observe que le titre B présente une performance relative meilleure que celle du titre A. À niveau comparable de risque total (12 %), il offre une rentabilité plus importante (13,75 % contre 10,5 %). En conséquence, il pourrait sembler inutile d'incorporer le titre A en portefeuille. Or, cette approche ignore l'un des constituants majeurs du risque du portefeuille à savoir la corrélation entre les rentabilités des titres (voir note technique « Rentabilité et risque d'un portefeuille »).

Corrélation entre les rentabilités de deux titres

Lorsque les rentabilités des titres sont imparfaitement corrélées, leurs variations peuvent se compenser, réduisant ainsi le risque spécifique du portefeuille. Selon le degré de corrélation, on observe différentes configurations :

• Corrélation faible (0,055).Il est difficile de distinguer une liaison entre les rentabilités des deux titres. Le titre B diminue fortement puis se reprend alors que le titre A baisse de façon continue. Cette relative indépendance est de nature à limiter le risque d'un portefeuille comprenant ces deux titres.
• Corrélation fortement positive (0,98). Les rentabilités des titres évoluent dans le même sens. Dans ce cas, le risque des deux titres se cumule dans un portefeuille.
• Corrélation négative (−0,91).Cela implique une relation inverse entre les rentabilités des titres. L'association de ces titres dans un portefeuille en réduira donc le risque de façon importante.
• Cas intermédiaire (0,45).La relation positive entre les deux titres laisse persister des variations spécifiques à chacun d'eux.

Ainsi, si l'on consacre 50 % de l'investissement à chacun de ces deux titres, la rentabilité espérée du portefeuille s'établira à 12,13 % mais son risque dépendra de la corrélation entre leurs rentabilités. Lorsque le taux de corrélation est de −0,91, le risque du portefeuille est à peine supérieur à 2 % tandis qu'il frôle les 12 % pour un taux de corrélation de 0,98 — et ce pour une rentabilité équivalente du portefeuille.

L'investisseur a donc tout intérêt à inclure dans son portefeuille des titres dont les rentabilités sont imparfaitement, voire négativement, corrélées afin d'en réduire le risque.

Cette démarche est connue sous l'appellation de « diversification », l'art de « ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier ». Le panier est représenté par la classe de risquedes actions que vous incorporez dans le portefeuille. Si les rentabilités de ces actions évoluent de façon corrélée, c'est qu'elles appartiennent à une classe de risque similaire voire identique. Donc, les montants investis (vos œufs) sont non seulement associés aux risques des deux actifs indépendants mais également à leurs effets combinés. Un peu comme un coureur cycliste sans casque pour qui les conséquences d'une éventuelle chute seraient non seulement aggravées par la vitesse mais également par l'absence de protection.

Une bonne diversification du portefeuille peut être atteinte spontanément en augmentant le nombre de titres le composant et donc la probabilité que les hausses de certains compensent les baisses d'autres. À partir d'une dizaine de titres dans le portefeuille, la diversification naturelle s'améliore significativement. Au-delà de 30 titres, elle devient excellente. WERIN permet la conception de portefeuilles pouvant compter jusqu'à 20 lignes de titres (selon abonnement). Pour renforcer cette diversification naturelle, le choix des titres se portera sur des secteurs d'activité différents. WERIN offre 3 niveaux de diversification sectorielle pour atteindre cet objectif. Enfin, il est possible de répartir ses investissements sur différentes zones géographiques (l'univers de titres de WERIN couvre trois continents). La diversification internationale est, cependant, plus contraignante en pratique en raison notamment du risque de taux de change et également des coûts de transaction plus élevés.

Mais alors me direz-vous, quid des montants investis dans chacun des titres, puisque la diversification fait déjà un bon travail en réduisant le risque ? C'est là que les choses deviennent intéressantes.

Détermination des montants investis dans les titres du portefeuille

Pour répondre à cette question, revenons brièvement sur la mesure de performance d'un portefeuille (voir note « Mesures de performance d'un portefeuille »). Le ratio de Sharpe est l'indicateur le plus classique. Il représente la rentabilité du portefeuille, R_p, en excès du taux sans risque, R_f, par unité de risque total, σ_p :

Dans le tableau présentant les données sur les deux titres A et B en début de cette note, leurs ratios de Sharpe sont respectivement de 0,63 — (10,5 % − 3 %) / 11,97 % — et de 0,90 — (13,75 % − 3 %) / 11,97 %. Cela signifie que la rentabilité du titre A (B) est de 0,63 % (0,90 %) par pourcentage de risque.

Est-il possible d'obtenir un ratio de Sharpe supérieur à 0,90 en mêlant ces deux titres dans un portefeuille ? Oui, au moyen d'une optimisation des proportions à investir dans ces deux titres. En application de « la théorie du portefeuille », cette optimisation consiste à calculer ces proportions en maximisant le ratio de Sharpe du portefeuille¹. Il s'agit de la méthode dite « Moyenne-Variance ». Nous épargnerons le lecteur des développements mathématiques fastidieux pour résoudre ce problème. Contentons-nous de la solution pour nos deux titres A et B avec une corrélation de 0,45. La proportion optimale investie dans A est de 26,5 % et celle dans B de 73,5 %. La rentabilité du portefeuille s'établit ainsi :

Soit une rentabilité de 12,9 % pour un risque total de 10,61 % permettant d'obtenir un ratio de Sharpe de 0,93((12,9 % − 3 %) / 10,61 %) supérieur à 0,90. Le fait que cette différence n'est pas très importante provient du degré de corrélation de 0,45 relativement élevé. Le tableau ci-dessous montre le lien entre les corrélations (et donc la diversification), les proportions optimales et les performances associées du portefeuille.

Vous observerez que les proportions dans le titre A diminuent au fur et à mesure que la corrélation avec le titre B augmente. Cela signifie qu'il est intéressant de détenir le titre le moins performant que lorsque sa corrélation avec l'autre titre est faible voire négative.

On notera que les proportions peuvent sembler ubuesques lorsque la corrélation est positivement élevée entre les deux titres (0,98). C'est un trait particulier de la méthode d'optimisation qui trouvera toujours une solution (ou presque), difficile quelquefois à transposer dans la pratique. Le signe négatif de la proportion dans le titre A signifie que le titre doit être vendu à découvert²et le fruit de cette vente investi dans le titre B. La vente à découvert, même si elle est techniquement possible, présente de nombreuses contraintes (coûts, délais, titres éligibles…) pour l'investisseur individuel et parfois pour le professionnel. Elle constitue donc une limitation dans l'utilisation de cette méthode d'optimisation qui peut être aisément contournée en ajoutant une restriction dans le modèle spécifiant des proportions positives. Mais dans ce cas, il n'existe plus de formule analytique directe et l'on doit procéder par simulation pour obtenir la solution optimale, un peu comme si on procédait par tâtonnement. Un avantage donc pour un inconvénient.

Quel bonheur ! Il semble que la science exacte des mathématiques appliquée à la finance permette de parvenir à une optimisation des portefeuilles en termes de rentabilité et de risque. Mais voilà, la finance reste, par essence, une science sociale, gouvernée et modelée par l'humain, qui lui, par nature, n'est pas modélisable. Les modèles présentés reflètent assez peu la réalité des choses. À l'origine, ces modèles sont mono-périodiques, c'est-à-dire conçus sur une seule période (dans nos exemples, l'année). Dès lors qu'on les inscrit dans une perspective dynamique, donc dans un enchaînement de périodes successives, l'optimisation ne pourra être maintenue qu'au prix de révisions fréquentes du portefeuille, nécessitant un suivi attentif donc du temps et des moyens financiers. De surcroît, les paramètres nécessaires à leur élaboration (rentabilités et matrices variances-covariances) proviennent de données historiques et ne représentent donc que des « extraits » de l'éventail des possibilités. Ces observations ne sont donc que des estimateurs statistiques des véritables valeurs que peuvent prendre ces variables. L'application du modèle présuppose une forme d'extrapolation des données historiques dans le futur. Or, cette hypothèse est loin d'être vérifiée en pratique ainsi que le mentionne l'ensemble des acteurs de l'investissement financier :

Alors, existe-t-il d'autres techniques d'optimisation dépassant ces limites ? Oui, de nombreuses extensions des modèles classiques existent mais leurs sophistications techniques dépassent largement le cadre de cette note synthétique. On peut mentionner entre autres, les modèles multifactoriels, la méthode « risk parity » et les nombreuses méthodes d'estimation robustes des paramètres des modèles classiques (rentabilités espérées, risques, covariances « shrinked »…)³. Cependant, si chacune de ces avancées présente un intérêt particulier, elle ne permet pas d'embrasser l'étendue des limites des modèles standards. Lorsque le dépassement des limites ne relève pas d'une complexité impraticable, il résulte de nouvelles approximations et de jugements hypothétiques.